四面体O-ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をP、辺OCを3:1に内分する点をQとする。線分PQの中点をMとし、直線OMと平面ABCの交点をRとする。ベクトル$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$で表せ。

1. 問題の内容

四面体O-ABCにおいて、辺ABを2:3に内分する点をP、辺OCを3:1に内分する点をQとする。線分PQの中点をMとし、直線OMと平面ABCの交点をRとする。ベクトル$\overrightarrow{OR}$を$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$で表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Pと点Qの位置ベクトルを$\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$で表す。

点Pは辺ABを2:3に内分するので、

$\overrightarrow{OP} = \frac{3\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB}}{2+3} = \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB}$

点Qは辺OCを3:1に内分するので、

$\overrightarrow{OQ} = \frac{1\overrightarrow{OC}}{3+1} = \frac{3}{4}\overrightarrow{OC}$

次に、点Mの位置ベクトル$\overrightarrow{OM}$を求める。点Mは線分PQの中点なので、

$\overrightarrow{OM} = \frac{\overrightarrow{OP} + \overrightarrow{OQ}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{5}\overrightarrow{OA} + \frac{2}{5}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{4}\overrightarrow{OC} \right) = \frac{3}{10}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{5}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{8}\overrightarrow{OC}$

点Rは直線OM上にあるので、実数$k$を用いて

$\overrightarrow{OR} = k\overrightarrow{OM} = \frac{3k}{10}\overrightarrow{OA} + \frac{k}{5}\overrightarrow{OB} + \frac{3k}{8}\overrightarrow{OC}$

また、点Rは平面ABC上にあるので、実数$s, t$を用いて

$\overrightarrow{AR} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OA} = s(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) + t(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OA})$

$\overrightarrow{OR} = (1-s-t)\overrightarrow{OA} + s\overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OR}$の2つの表現を比較すると、

$\frac{3k}{10} = 1 - s - t$

$\frac{k}{5} = s$

$\frac{3k}{8} = t$

これらを足し合わせると、

$\frac{3k}{10} + \frac{k}{5} + \frac{3k}{8} = 1 - s - t + s + t = 1$

$\frac{12k + 8k + 15k}{40} = 1$

$\frac{35k}{40} = 1$

$k = \frac{40}{35} = \frac{8}{7}$

したがって、

$\overrightarrow{OR} = \frac{3}{10} \cdot \frac{8}{7}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{5} \cdot \frac{8}{7}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{8} \cdot \frac{8}{7}\overrightarrow{OC}$

$\overrightarrow{OR} = \frac{12}{35}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{35}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{OC}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OR} = \frac{12}{35}\overrightarrow{OA} + \frac{8}{35}\overrightarrow{OB} + \frac{3}{7}\overrightarrow{OC}$