$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とするとき、$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことを証明せよ。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点を $D$ とするとき、$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つことを証明せよ。

2. 解き方の手順

この問題を解くには、ベクトルの知識と内分点の公式を利用します。点 $A$ を始点とするベクトルで表し、成分計算をすることで証明します。

(1) $\vec{AB} = \vec{b}, \vec{AC} = \vec{c}, \vec{AD} = \vec{d}$ とします。

(2) $D$ は辺 $BC$ を $1:2$ に内分する点なので、内分点の公式より、

$\vec{d} = \frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}$

(3) $BD = \frac{1}{3}BC$ であるから、$BD^2 = \frac{1}{9}BC^2 = \frac{1}{9}|\vec{c} - \vec{b}|^2$

(4) 左辺 $= 2AB^2 + AC^2 = 2|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2$

(5) 右辺 $= 3(AD^2 + 2BD^2) = 3(|\vec{d}|^2 + 2BD^2) = 3\left(\left|\frac{2\vec{b} + \vec{c}}{3}\right|^2 + \frac{2}{9}|\vec{c} - \vec{b}|^2\right)$

$= 3\left(\frac{1}{9}|2\vec{b} + \vec{c}|^2 + \frac{2}{9}|\vec{c} - \vec{b}|^2\right) = \frac{1}{3}\left(|2\vec{b} + \vec{c}|^2 + 2|\vec{c} - \vec{b}|^2\right)$

$= \frac{1}{3}(4|\vec{b}|^2 + 4\vec{b}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2 + 2|\vec{c}|^2 - 4\vec{b}\cdot\vec{c} + 2|\vec{b}|^2) = \frac{1}{3}(6|\vec{b}|^2 + 3|\vec{c}|^2) = 2|\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2$

(6) よって、$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$2AB^2 + AC^2 = 3(AD^2 + 2BD^2)$ が成り立つ。