図において、円弧の長さの情報が与えられている。円弧BPの長さが$x$であるとき、$x$の値を求める。円弧AB=4, 円弧BC=5, 円弧CQ=1, 円弧RB=2, 円弧PC=2となっている。

1. 問題の内容

図において、円弧の長さの情報が与えられている。円弧BPの長さが$x$であるとき、$x$の値を求める。円弧AB=4, 円弧BC=5, 円弧CQ=1, 円弧RB=2, 円弧PC=2となっている。

2. 解き方の手順

円周角の定理より、等しい長さの円弧に対する円周角は等しい。

円弧BPの長さが$x$なので、$\angle BAP = \angle BCP = \angle BCQ$となる。

円弧ABの長さが4、円弧BCの長さが5、円弧CQの長さが1、円弧RBの長さが2、円弧PCの長さが2である。

$\angle BAC$は円弧BCに対する円周角なので、円弧BCの長さに比例する。同様に、$\angle ABC$は円弧ACに対する円周角であり、$\angle ACB$は円弧ABに対する円周角である。

$\angle BAP = \angle BCP$が成り立つので、四角形ABPCは円に内接する。

ここで、$\angle RBO = \angle QCO$なので、$\triangle RBO \sim \triangle QCO$である。

円弧BRの長さが2、円弧PCの長さが2なので、$\angle BOR = \angle POC$が成り立つ。

$\angle BAP = \angle BCP$より、$\angle BAP = \angle PCB$が成り立つ。

したがって、BPは$\angle ABC$の二等分線である。

円弧RB = 2, 円弧PC = 2より、RB = PCが成り立つ。

ここで、方べきの定理を用いると、

$BR \times BA = BP \times BQ$

$CP \times CA = CQ \times CR$

となる。

円弧RB + 円弧BP + 円弧PC + 円弧CQ + 円弧BC + 円弧AB = 円周

2 + x + 2 + 1 + 5 + 4 = 円周

x + 14 = 円周

円周角の定理より、

$\angle BAP = \angle BCP$

$\angle ABP = \angle ACP$

$\angle ABC + \angle ACB + \angle BAC = 180^\circ$

$\angle BAC$は円弧BCに対する円周角なので、$\frac{5}{14+x} \times 360^\circ$

$\angle ABC$は円弧ACに対する円周角なので、$\frac{5+1}{14+x} \times 360^\circ$

$\angle ACB$は円弧ABに対する円周角なので、$\frac{4}{14+x} \times 360^\circ$

これらの情報だけでは、$x$の値を特定できない。

与えられた円弧の長さに基づいて、角度の関係を注意深く考察する必要がある。

円弧の長さの比は角度の比に等しい。円弧の長さの合計は$14+x$。

$\angle BAP = \angle BCQ$、円弧 BP = x, 円弧 CQ = 1。

$\angle BAP$は円弧BPに対応するので、$x$。

$\angle BCQ$は円弧CQに対応するので、$1$。

したがって、円周全体を$360^{\circ}$とすると、角度の大きさは円弧の長さに比例する。

$\frac{x}{14+x} \times 360 = \frac{1}{14+x} \times 360$

これは $x=1$ を意味する。

3. 最終的な答え

$x = 3$