3点 A, B(-4, 2), C(2, 0) を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点Aのx座標の値が負であるものを求める。

1. 問題の内容

3点 A, B(-4, 2), C(2, 0) を頂点とする三角形が正三角形になるとき、点Aのx座標の値が負であるものを求める。

2. 解き方の手順

点Aの座標を(x, y)とする。

正三角形の辺の長さはすべて等しいので、AB = BC = CAである。

まず、BCの長さを求める。

$BC = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}$

次に、AB = BCとなる条件を考える。

$AB = \sqrt{(x - (-4))^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{(x + 4)^2 + (y - 2)^2}$

したがって、

$\sqrt{(x + 4)^2 + (y - 2)^2} = \sqrt{40}$

$(x + 4)^2 + (y - 2)^2 = 40$ ...(1)

次に、CA = BCとなる条件を考える。

$CA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 2)^2 + y^2}$

したがって、

$\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} = \sqrt{40}$

$(x - 2)^2 + y^2 = 40$ ...(2)

(2)式からy^2について解くと、

$y^2 = 40 - (x - 2)^2 = 40 - (x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4x + 36$

(1)式を展開すると、

$x^2 + 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 40$

$x^2 + 8x + 20 + y^2 - 4y = 40$

$y^2 = -x^2 - 8x + 4y + 20$

これらを連立して解く。

$-x^2 + 4x + 36 = -x^2 - 8x + 4y + 20$

$12x + 16 = 4y$

$y = 3x + 4$

これを(2)に代入する。

$(x - 2)^2 + (3x + 4)^2 = 40$

$x^2 - 4x + 4 + 9x^2 + 24x + 16 = 40$

$10x^2 + 20x + 20 = 40$

$10x^2 + 20x - 20 = 0$

$x^2 + 2x - 2 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

したがって、$x = -1 + \sqrt{3}$または$x = -1 - \sqrt{3}$

x座標が負であるものを求めたいので、両方の値に対してyを計算する。

$x = -1 + \sqrt{3}$の場合、

$y = 3(-1 + \sqrt{3}) + 4 = -3 + 3\sqrt{3} + 4 = 1 + 3\sqrt{3} > 0$

$x = -1 - \sqrt{3}$の場合、

$y = 3(-1 - \sqrt{3}) + 4 = -3 - 3\sqrt{3} + 4 = 1 - 3\sqrt{3} < 0$

したがって、点Aの座標は$(-1 - \sqrt{3}, 1 - 3\sqrt{3})$となる。求めるx座標は$-1 - \sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

$-1 - \sqrt{3}$