一辺の長さが1である正四面体の体積を求めます。

1. 問題の内容

一辺の長さが1である正四面体の体積を求めます。

2. 解き方の手順

正四面体の体積$V$は、底面積$A$と高さ$h$を使って、$V = \frac{1}{3}Ah$で計算できます。

まず、底面の正三角形の面積を計算します。正三角形の一辺の長さが$a$の場合、面積は$A = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$です。この問題では、$a=1$なので、底面積は、$A = \frac{\sqrt{3}}{4}$となります。

次に、高さを計算します。正四面体の頂点から底面に下ろした垂線は、底面の正三角形の重心に交わります。底面の重心は、正三角形の中線を2:1に内分する点です。正三角形の中線の長さは$\frac{\sqrt{3}}{2}a$なので、重心までの距離は$\frac{1}{3} \times \sqrt{3}/2 = \frac{\sqrt{3}}{6}$となります。

ピタゴラスの定理を使って高さを求めます。

$h^2 + (\frac{\sqrt{3}}{6})^2 = 1^2$

$h^2 + \frac{3}{36} = 1$

$h^2 + \frac{1}{12} = 1$

$h^2 = 1 - \frac{1}{12}$

$h^2 = \frac{11}{12}$

$h = \sqrt{\frac{11}{12}} = \frac{\sqrt{33}}{6}$

体積は

$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{\sqrt{33}}{6} = \frac{\sqrt{99}}{72} = \frac{3\sqrt{11}}{72} = \frac{\sqrt{11}}{24}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{2}}{12}$

または

$\frac{\sqrt{11}}{24}$

底面は正三角形なので、高さと辺の長さを用いて以下のように計算できます。

底面積$=\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$

高さ$=\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$

体積$=\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{\sqrt{18}}{36}=\frac{3\sqrt{2}}{36}=\frac{\sqrt{2}}{12}$

最終的な答え: $\frac{\sqrt{2}}{12}$