四面体OABCにおいて、$OA = OB = OC = 3$、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$である。辺OAを2:1に内分する点をD、辺BCの中点をMとし、線分DMを2:3に内分する点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。また、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。 (2) 直線OPが平面DBCに垂直であるとき、内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$OA = OB = OC = 3$、$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$である。辺OAを2:1に内分する点をD、辺BCの中点をMとし、線分DMを2:3に内分する点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とする。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。また、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表せ。

(2) 直線OPが平面DBCに垂直であるとき、内積 $\vec{b} \cdot \vec{c}, \vec{c} \cdot \vec{a}$ の値をそれぞれ求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \angle AOB$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 3 \cdot \cos \frac{\pi}{3} = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}$

点DはOAを2:1に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{2}{3} \vec{OA} = \frac{2}{3} \vec{a}$

点MはBCの中点なので、

$\vec{OM} = \frac{1}{2} (\vec{OB} + \vec{OC}) = \frac{1}{2} (\vec{b} + \vec{c})$

点PはDMを2:3に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OD} + 2\vec{OM}}{2+3} = \frac{3 (\frac{2}{3}\vec{a}) + 2 (\frac{1}{2}(\vec{b} + \vec{c}))}{5} = \frac{2\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{5}$

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c}$

(2)

$\vec{OP}$が平面DBCに垂直であるとき、$\vec{OP} \perp \vec{DB}$かつ$\vec{OP} \perp \vec{DC}$。

$\vec{DB} = \vec{OB} - \vec{OD} = \vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}$

$\vec{DC} = \vec{OC} - \vec{OD} = \vec{c} - \frac{2}{3}\vec{a}$

$\vec{OP} \cdot \vec{DB} = (\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c}) \cdot (\vec{b} - \frac{2}{3}\vec{a}) = 0$

$\frac{2}{5} \vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{4}{15} |\vec{a}|^2 + \frac{1}{5} |\vec{b}|^2 - \frac{2}{15} \vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$

$\frac{4}{15} \vec{a}\cdot\vec{b} - \frac{4}{15} (9) + \frac{1}{5} (9) + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$

$\frac{4}{15} (\frac{9}{2}) - \frac{36}{15} + \frac{27}{5} + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} \vec{c}\cdot\vec{a} = 0$

$\frac{6}{5} - \frac{12}{5} + \frac{27}{5} + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} \vec{c}\cdot\vec{a} = 0$

$\frac{21}{5} + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} \vec{c}\cdot\vec{a} = 0$

$63 + 3 \vec{b}\cdot\vec{c} - 2 \vec{c}\cdot\vec{a} = 0$

$3 \vec{b}\cdot\vec{c} - 2 \vec{c}\cdot\vec{a} = -63$ (1)

$\vec{OP} \cdot \vec{DC} = (\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c}) \cdot (\vec{c} - \frac{2}{3}\vec{a}) = 0$

$\frac{2}{5} \vec{a}\cdot\vec{c} - \frac{4}{15} |\vec{a}|^2 + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} \vec{a}\cdot\vec{b} + \frac{1}{5} |\vec{c}|^2 - \frac{2}{15} \vec{a}\cdot\vec{c} = 0$

$\frac{4}{15} \vec{a}\cdot\vec{c} - \frac{4}{15} (9) + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{2}{15} (\frac{9}{2}) + \frac{1}{5} (9) = 0$

$\frac{4}{15} \vec{c}\cdot\vec{a} - \frac{12}{5} + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{3}{5} + \frac{9}{5} = 0$

$\frac{4}{15} \vec{c}\cdot\vec{a} + \frac{1}{5} \vec{b}\cdot\vec{c} - \frac{6}{5} = 0$

$4 \vec{c}\cdot\vec{a} + 3 \vec{b}\cdot\vec{c} - 18 = 0$

$4 \vec{c}\cdot\vec{a} + 3 \vec{b}\cdot\vec{c} = 18$ (2)

(1)と(2)を連立する。

$3 \vec{b}\cdot\vec{c} - 2 \vec{c}\cdot\vec{a} = -63$

$3 \vec{b}\cdot\vec{c} + 4 \vec{c}\cdot\vec{a} = 18$

引き算して、 $-6 \vec{c}\cdot\vec{a} = -81$

$\vec{c}\cdot\vec{a} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$

$3 \vec{b}\cdot\vec{c} + 4 (\frac{27}{2}) = 18$

$3 \vec{b}\cdot\vec{c} = 18 - 54 = -36$

$\vec{b}\cdot\vec{c} = -12$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{9}{2}$

$\vec{OP} = \frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{5}\vec{b} + \frac{1}{5}\vec{c}$

(2) $\vec{b} \cdot \vec{c} = -12$

$\vec{c} \cdot \vec{a} = \frac{27}{2}$