与えられた数列 $1\cdot3, 2\cdot3^2, 3\cdot3^3, \dots, n\cdot3^n$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $1\cdot3, 2\cdot3^2, 3\cdot3^3, \dots, n\cdot3^n$ の初項から第 $n$ 項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列の和を $S$ とすると、

$S = 1\cdot3 + 2\cdot3^2 + 3\cdot3^3 + \dots + n\cdot3^n$

この両辺に3を掛けると、

$3S = 1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 3\cdot3^4 + \dots + n\cdot3^{n+1}$

$S$から$3S$を引くと、

$S - 3S = (1\cdot3 + 2\cdot3^2 + 3\cdot3^3 + \dots + n\cdot3^n) - (1\cdot3^2 + 2\cdot3^3 + 3\cdot3^4 + \dots + n\cdot3^{n+1})$

$-2S = 1\cdot3 + (2-1)\cdot3^2 + (3-2)\cdot3^3 + \dots + (n-(n-1))\cdot3^n - n\cdot3^{n+1}$

$-2S = 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n - n\cdot3^{n+1}$

等比数列の和の公式を利用して、$3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n$を計算する。

初項は3, 公比は3, 項数は$n$の等比数列の和なので、

$3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n = \frac{3(3^n - 1)}{3-1} = \frac{3(3^n - 1)}{2}$

これを$-2S$の式に代入すると、

$-2S = \frac{3(3^n - 1)}{2} - n\cdot3^{n+1}$

$-2S = \frac{3^{n+1} - 3}{2} - n\cdot3^{n+1}$

$-2S = \frac{3^{n+1} - 3 - 2n\cdot3^{n+1}}{2}$

$-2S = \frac{(1-2n)3^{n+1} - 3}{2}$

$S = \frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{(2n-1)3^{n+1} + 3}{4}$