関数 $f(x) = x^3 - 3x$ の $0 \leqq x \leqq 2$ における最大値と最小値、およびそれらをとる $x$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 - 3x$ の $0 \leqq x \leqq 2$ における最大値と最小値、およびそれらをとる $x$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $f(x)$ を微分して、増減を調べます。

$f'(x) = 3x^2 - 3$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 3 = 0$

$x^2 = 1$

$x = \pm 1$

ここで、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ に含まれるのは $x = 1$ です。

次に、区間の端点 $x = 0$, $x = 2$ と $f'(x) = 0$ となる $x = 1$ での $f(x)$ の値を計算します。

$f(0) = 0^3 - 3(0) = 0$

$f(1) = 1^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2$

$f(2) = 2^3 - 3(2) = 8 - 6 = 2$

したがって、区間 $0 \leqq x \leqq 2$ における $f(x)$ の最大値は $2$ ($x=2$ のとき)、最小値は $-2$ ($x=1$ のとき) です。

3. 最終的な答え

最大値: 2 ($x = 2$ のとき)

最小値: -2 ($x = 1$ のとき)