与えられた積分を解く問題です。 具体的には、$\int \frac{2t}{1+2t} dt = \int (1-\frac{1}{2t+1}) dt$を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分を解く問題です。

具体的には、$\int \frac{2t}{1+2t} dt = \int (1-\frac{1}{2t+1}) dt$を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を分解します。

$\int (1 - \frac{1}{2t+1}) dt = \int 1 dt - \int \frac{1}{2t+1} dt$

それぞれの積分を個別に計算します。

$\int 1 dt = t + C_1$

次に、$\int \frac{1}{2t+1} dt$ を計算します。

$u = 2t+1$ と置換すると、$du = 2 dt$ より $dt = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{2t+1} dt = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_2 = \frac{1}{2} \ln |2t+1| + C_2$

元の積分に戻ると、

$\int (1 - \frac{1}{2t+1}) dt = t - \frac{1}{2} \ln |2t+1| + C$

ここで、$C = C_1 - C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$t - \frac{1}{2} \ln |2t+1| + C$