2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。 (1) 1つの解が他の解の4倍である。 (2) 2つの解の差が1である。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 5x + m = 0$ について、以下の条件を満たすとき、定数 $m$ の値と2つの解をそれぞれ求めます。

(1) 1つの解が他の解の4倍である。

(2) 2つの解の差が1である。

2. 解き方の手順

(1) 1つの解が他の解の4倍である場合

2つの解を $\alpha$ と $4\alpha$ とおきます。解と係数の関係より、

$\alpha + 4\alpha = -5$

$\alpha \cdot 4\alpha = m$

上記の式を整理すると、

$5\alpha = -5$

$4\alpha^2 = m$

1つ目の式から $\alpha = -1$ となります。

これを2つ目の式に代入すると、

$4(-1)^2 = m$

$4 = m$

よって、$m = 4$ となります。

2つの解は $\alpha = -1$ と $4\alpha = -4$ です。

(2) 2つの解の差が1である場合

2つの解を $\beta$ と $\beta + 1$ とおきます。解と係数の関係より、

$\beta + (\beta + 1) = -5$

$\beta (\beta + 1) = m$

上記の式を整理すると、

$2\beta + 1 = -5$

$\beta^2 + \beta = m$

1つ目の式から $2\beta = -6$ となり、$\beta = -3$ となります。

これを2つ目の式に代入すると、

$(-3)^2 + (-3) = m$

$9 - 3 = m$

$6 = m$

よって、$m = 6$ となります。

2つの解は $\beta = -3$ と $\beta + 1 = -2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $m = 4$, 2つの解は $-1$ と $-4$

(2) $m = 6$, 2つの解は $-3$ と $-2$