3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 9x + k = 0$ が異なる3個の実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 9x + k = 0$ が異なる3個の実数解を持つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + k$ とおきます。

$f(x) = 0$ が異なる3つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、極大値と極小値の符号が異なっている必要があります。

$f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 = 3(x^2 + 2x - 3) = 3(x+3)(x-1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -3, 1$ のときです。

したがって、$x=-3$ と $x=1$ は極値を与える候補です。

$f''(x) = 6x + 6$

$f''(-3) = -18+6 = -12 < 0$ なので、$x = -3$ で極大値をとる。

$f''(1) = 6+6 = 12 > 0$ なので、$x = 1$ で極小値をとる。

極大値は $f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + k = -27 + 27 + 27 + k = 27 + k$

極小値は $f(1) = (1)^3 + 3(1)^2 - 9(1) + k = 1 + 3 - 9 + k = -5 + k$

異なる3つの実数解を持つためには、極大値と極小値の符号が異ならなければならないので、

$(27 + k)(-5 + k) < 0$

$(k + 27)(k - 5) < 0$

$-27 < k < 5$

3. 最終的な答え

(1) -27

(2) 5

したがって、 $-27 < k < 5$