与えられた数式を因数分解する問題です。 16(1) $y^2 + 8y + 16$ 16(2) $y^2 - 6y + 9$ 16(3) $x^2 + 24x + 144$ 16(4) $x^2 - 30x + 255$ 17(1) $x^2 - 81$ 17(2) $a^2 - 100$ 17(3) $y^2 - 196$ 17(4) $169 - x^2$ 18(1) $3x^2 + 21x - 90$ 18(2) $-2a^2 + 24a - 72$ 19(1) $25x^2 + 20x + 4$ 19(2) $9a^2 - 16b^2$ 19(3) $49x^2 - 70xy + 25y^2$

了解しました。与えられた画像に含まれる数式を因数分解する問題ですね。問題を1つずつ解いていきましょう。

1. 問題の内容

与えられた数式を因数分解する問題です。

16(1) $y^2 + 8y + 16$

16(2) $y^2 - 6y + 9$

16(3) $x^2 + 24x + 144$

16(4) $x^2 - 30x + 255$

17(1) $x^2 - 81$

17(2) $a^2 - 100$

17(3) $y^2 - 196$

17(4) $169 - x^2$

18(1) $3x^2 + 21x - 90$

18(2) $-2a^2 + 24a - 72$

19(1) $25x^2 + 20x + 4$

19(2) $9a^2 - 16b^2$

19(3) $49x^2 - 70xy + 25y^2$

2. 解き方の手順

16(1)

$y^2 + 8y + 16$ は、$(y+4)^2$ と因数分解できます。なぜなら、$(y+4)(y+4) = y^2 + 4y + 4y + 16 = y^2 + 8y + 16$ となるからです。

16(2)

$y^2 - 6y + 9$ は、$(y-3)^2$ と因数分解できます。なぜなら、$(y-3)(y-3) = y^2 - 3y - 3y + 9 = y^2 - 6y + 9$ となるからです。

16(3)

$x^2 + 24x + 144$ は、$(x+12)^2$ と因数分解できます。なぜなら、$(x+12)(x+12) = x^2 + 12x + 12x + 144 = x^2 + 24x + 144$ となるからです。

16(4)

$x^2 - 30x + 255$ は、残念ながら簡単な因数分解ができません。255を因数分解すると$3 \times 5 \times 17$となります。$x^2 - 30x + 255 = (x-15)^2 -225 +255 = (x-15)^2 + 30$。

17(1)

$x^2 - 81$ は、$(x+9)(x-9)$ と因数分解できます。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用しています。

17(2)

$a^2 - 100$ は、$(a+10)(a-10)$ と因数分解できます。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用しています。

17(3)

$y^2 - 196$ は、$(y+14)(y-14)$ と因数分解できます。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用しています。

17(4)

$169 - x^2$ は、$(13+x)(13-x)$ と因数分解できます。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用しています。

18(1)

$3x^2 + 21x - 90$ は、まず3でくくりだして $3(x^2 + 7x - 30)$ となります。そして、$x^2 + 7x - 30$ を $(x+10)(x-3)$ と因数分解できます。したがって、$3(x+10)(x-3)$ です。

18(2)

$-2a^2 + 24a - 72$ は、まず-2でくくりだして $-2(a^2 - 12a + 36)$ となります。そして、$a^2 - 12a + 36$ を $(a-6)^2$ と因数分解できます。したがって、$-2(a-6)^2$ です。

19(1)

$25x^2 + 20x + 4$ は、$(5x+2)^2$ と因数分解できます。なぜなら、$(5x+2)(5x+2) = 25x^2 + 10x + 10x + 4 = 25x^2 + 20x + 4$ となるからです。

19(2)

$9a^2 - 16b^2$ は、$(3a+4b)(3a-4b)$ と因数分解できます。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用しています。

19(3)

$49x^2 - 70xy + 25y^2$ は、$(7x-5y)^2$ と因数分解できます。なぜなら、$(7x-5y)(7x-5y) = 49x^2 - 35xy - 35xy + 25y^2 = 49x^2 - 70xy + 25y^2$ となるからです。

3. 最終的な答え

16(1) $(y+4)^2$

16(2) $(y-3)^2$

16(3) $(x+12)^2$

16(4) $(x-15)^2 + 30$

17(1) $(x+9)(x-9)$

17(2) $(a+10)(a-10)$

17(3) $(y+14)(y-14)$

17(4) $(13+x)(13-x)$

18(1) $3(x+10)(x-3)$

18(2) $-2(a-6)^2$

19(1) $(5x+2)^2$

19(2) $(3a+4b)(3a-4b)$

19(3) $(7x-5y)^2$