三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をE、辺BCを3:2に外分する点をFとする。このとき、ベクトル$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{EF}$をそれぞれ$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$を用いて表す。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BCを2:1に内分する点をE、辺BCを3:2に外分する点をFとする。このとき、ベクトル$\overrightarrow{AE}$、$\overrightarrow{AF}$、$\overrightarrow{EF}$をそれぞれ$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AE}$を求める。

点Eは辺BCを2:1に内分するので、内分点の公式より

$\overrightarrow{AE} = \frac{1 \cdot \overrightarrow{AB} + 2 \cdot \overrightarrow{AC}}{2+1}$

$\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{AF}$を求める。

点Fは辺BCを3:2に外分するので、外分点の公式より

$\overrightarrow{AF} = \frac{-2 \cdot \overrightarrow{AB} + 3 \cdot \overrightarrow{AC}}{3-2}$

$\overrightarrow{AF} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{EF}$を求める。

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{EF} = (-2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}) - (\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC})$

$\overrightarrow{EF} = (-2-\frac{1}{3})\overrightarrow{AB} + (3-\frac{2}{3})\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{EF} = -\frac{7}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{3}\overrightarrow{AC}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$

(2) $\overrightarrow{AF} = -2\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$

(3) $\overrightarrow{EF} = -\frac{7}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{3}\overrightarrow{AC}$