一辺の長さが6である立方体について、以下の問題を解く。 (1) 線分BC, BGの長さを求め、BCとBGのなす角$\theta$を求め、内積$\vec{BC} \cdot \vec{BG}$を求める。 (2) 線分BG, CFの長さを求め、BGとCFのなす角$\theta$を求め、内積$\vec{BG} \cdot \vec{CF}$を求める。 ただし、なす角は始点を合わせたときの角度とする。

1. 問題の内容

一辺の長さが6である立方体について、以下の問題を解く。

(1) 線分BC, BGの長さを求め、BCとBGのなす角$\theta$を求め、内積$\vec{BC} \cdot \vec{BG}$を求める。

(2) 線分BG, CFの長さを求め、BGとCFのなす角$\theta$を求め、内積$\vec{BG} \cdot \vec{CF}$を求める。

ただし、なす角は始点を合わせたときの角度とする。

2. 解き方の手順

(1)

① 線分BCの長さは立方体の一辺の長さなので、6である。線分BGの長さは、直角三角形BCGの斜辺の長さなので、三平方の定理より、

$BG = \sqrt{BC^2 + CG^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$

② $\vec{BC}$と$\vec{BG}$のなす角$\theta$について、

$\vec{BC} \cdot \vec{BG} = |\vec{BC}| |\vec{BG}| \cos{\theta}$

であるから、$\cos{\theta} = \frac{\vec{BC} \cdot \vec{BG}}{|\vec{BC}| |\vec{BG}|}$

$\vec{BC} \cdot \vec{BG} = BC \times BC = 6 \times 6 = 36$

$|\vec{BC}| = 6$

$|\vec{BG}| = 6\sqrt{2}$

$\cos{\theta} = \frac{36}{6 \times 6\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$ (45度)

③ $\vec{BC} \cdot \vec{BG} = |\vec{BC}| |\vec{BG}| \cos{\theta} = 6 \times 6\sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 36$

(2)

① 線分BGの長さは、(1)より$6\sqrt{2}$である。線分CFの長さは立方体の一辺の長さなので、6である。

② $\vec{BG}$と$\vec{CF}$のなす角を求めるために、始点を合わせる。$\vec{CF}$を$\vec{BA}$に平行移動する。$\vec{BG}$と$\vec{BA}$のなす角を$\theta$とすると、

$\vec{BG} = \vec{BC} + \vec{CG}$

$\vec{BA}$と$\vec{BC}$, $\vec{BA}$と$\vec{CG}$は垂直なので、$\vec{BA} \cdot \vec{BG} = 0$である。

よって$\theta=90$度。

③ $\vec{BG} \cdot \vec{CF} = |\vec{BG}| |\vec{CF}| \cos{\theta} = 6\sqrt{2} \times 6 \times \cos{90^\circ} = 6\sqrt{2} \times 6 \times 0 = 0$

3. 最終的な答え

(1)

① $BC=6, BG=6\sqrt{2}$

② $\theta=45^\circ$

③ $\vec{BC} \cdot \vec{BG} = 36$

(2)

① $BG=6\sqrt{2}, CF=6$

② $\theta=90^\circ$

③ $\vec{BG} \cdot \vec{CF} = 0$