平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。 (1) 3点P, Q, Cは一直線上にあることを証明せよ。 (2) PQ: QCを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、辺ABを3:2に内分する点をP、対角線BDを2:5に内分する点をQとする。

(1) 3点P, Q, Cは一直線上にあることを証明せよ。

(2) PQ: QCを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 3点P, Q, Cが一直線上にあることの証明

$\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AD} = \vec{d}$ とする。

点Pは辺ABを3:2に内分するので、

$\vec{AP} = \frac{3}{5}\vec{AB} = \frac{3}{5}\vec{b}$

点Qは対角線BDを2:5に内分するので、

$\vec{AQ} = \frac{2}{7}\vec{AD} + \frac{5}{7}\vec{AB} = \frac{2}{7}\vec{d} + \frac{5}{7}\vec{b}$

点Cは$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{b} + \vec{d}$となる。

$\vec{PQ} = \vec{AQ} - \vec{AP} = \frac{2}{7}\vec{d} + \frac{5}{7}\vec{b} - \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{d} + (\frac{5}{7} - \frac{3}{5})\vec{b} = \frac{2}{7}\vec{d} + \frac{4}{35}\vec{b}$

$\vec{PC} = \vec{AC} - \vec{AP} = \vec{b} + \vec{d} - \frac{3}{5}\vec{b} = \frac{2}{5}\vec{b} + \vec{d}$

ここで、$\vec{PQ} = k\vec{PC}$となる実数kが存在すれば、3点P, Q, Cは一直線上にある。

$\vec{PQ} = \frac{2}{7}\vec{d} + \frac{4}{35}\vec{b}$と$\vec{PC} = \vec{d} + \frac{2}{5}\vec{b}$について、

$\vec{PQ} = \frac{2}{7}(\vec{d} + \frac{2}{5}\vec{b}) = \frac{2}{7} \vec{PC}$

よって、$\vec{PQ} = \frac{2}{7}\vec{PC}$が成り立つので、3点P, Q, Cは一直線上にある。

(2) PQ: QCの計算

(1)の結果より、$\vec{PQ} = \frac{2}{7}\vec{PC}$

$\vec{PQ} = \frac{2}{7}\vec{PQ} + \frac{2}{7}\vec{QC}$

$\frac{5}{7}\vec{PQ} = \frac{2}{7}\vec{QC}$

$5\vec{PQ} = 2\vec{QC}$

$\vec{PQ} : \vec{QC} = 2 : 5$

3. 最終的な答え

(1) 3点P, Q, Cは一直線上にある（証明終わり）。

(2) PQ: QC = 2: 5