ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ s+t \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の問いに答える。 (1) $\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求めよ。 (2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。 (3) $\vec{a} \perp \vec{p}$ となるような $x$ を求めよ。 (4) $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} + \vec{p})$ となるような $x$ を求めよ。 (5) $\vec{a} // \vec{q}$ となるような $s, t$ を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{p} = \begin{pmatrix} x \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{q} = \begin{pmatrix} 2 \\ s \\ s+t \end{pmatrix}$ が与えられている。以下の問いに答える。

(1) $\vec{b}$ と逆向きの単位ベクトルを求めよ。

(2) $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

(3) $\vec{a} \perp \vec{p}$ となるような $x$ を求めよ。

(4) $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} + \vec{p})$ となるような $x$ を求めよ。

(5) $\vec{a} // \vec{q}$ となるような $s, t$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{b}$ の単位ベクトルを求め、それに -1 をかける。

$\vec{b}$ の大きさは $|\vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$

$\vec{b}$ の単位ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

逆向きの単位ベクトルは $-\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(2) $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ を用いる。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 = 3 - 2 + 6 = 7$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14}$

$|\vec{b}| = \sqrt{14}$ (すでに計算済み)

$\cos \theta = \frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

$\theta = 60^\circ$

(3) $\vec{a} \perp \vec{p}$ より $\vec{a} \cdot \vec{p} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{p} = 1 \cdot x + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 = x + 2 + 3 = x + 5 = 0$

$x = -5$

(4) $(\vec{a} + \vec{b}) \perp (\vec{a} + \vec{p})$ より $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{p}) = 0$

$\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 1+3 \\ 2-1 \\ 3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}$

$\vec{a} + \vec{p} = \begin{pmatrix} 1+x \\ 2+1 \\ 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+x \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix}$

$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{p}) = 4(1+x) + 1 \cdot 3 + 5 \cdot 4 = 4 + 4x + 3 + 20 = 4x + 27 = 0$

$4x = -27$

$x = -\frac{27}{4}$

(5) $\vec{a} // \vec{q}$ より、ある実数 $k$ が存在して $\vec{q} = k \vec{a}$

$\begin{pmatrix} 2 \\ s \\ s+t \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k \\ 2k \\ 3k \end{pmatrix}$

$2 = k$

$s = 2k = 2 \cdot 2 = 4$

$s + t = 3k = 3 \cdot 2 = 6$

$4 + t = 6$

$t = 2$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{\sqrt{14}}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

(2) $\theta = 60^\circ$

(3) $x = -5$

(4) $x = -\frac{27}{4}$

(5) $s = 4, t = 2$