$ \begin{cases} 2a + b = 8 \\ 2b - a = 1 \end{cases} $

## 問題の回答

###

1. 問題の内容

(1) 連立方程式

$$

\begin{cases}

ax + by = 8 \\

bx - ay = 1

\end{cases}

$$

の解が $x=2$, $y=1$ であるとき、$a, b$ の値を求める。

(2) 連立方程式

$$

\begin{cases}

x + y = 1 \\

ax - by = -5

\end{cases}

$$

と連立方程式

$$

\begin{cases}

bx + ay = 14 \\

3x + 2y = 0

\end{cases}

$$

が同じ解をもつとき、$a, b$ の値を求める。

###

2. 解き方の手順

**(1)**

1. $x=2$, $y=1$ を連立方程式に代入する。

$$

\begin{cases}

2a + b = 8 \\

2b - a = 1

\end{cases}

$

2. 2番目の式を $a$ について解くと、 $a = 2b - 1$ となる。

3. これを1番目の式に代入する。

$$

2(2b - 1) + b = 8

$

$

4b - 2 + b = 8

$

$

5b = 10

$

$

b = 2

$

4. $b = 2$ を $a = 2b - 1$ に代入する。

$$

a = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3

$

**(2)**

1. 連立方程式

$$

\begin{cases}

bx + ay = 14 \\

3x + 2y = 0

\end{cases}

$

から $x$ と $y$ を求める。

2. $3x + 2y = 0$ より $y = -\frac{3}{2}x$

3. $y = -\frac{3}{2}x$ を $x+y=1$ に代入する。

$x - \frac{3}{2}x = 1$

$-\frac{1}{2}x = 1$

$x = -2$

4. $x=-2$ を $x + y = 1$ に代入すると、 $y = 3$ となる。

5. $x = -2$、$y = 3$ を $ax - by = -5$と $bx + ay = 14$に代入する。

$$

\begin{cases}

-2a - 3b = -5 \\

-2b + 3a = 14

\end{cases}

$

6. 連立方程式を解く。

$$

\begin{cases}

-2a - 3b = -5 \\

3a - 2b = 14

\end{cases}

$

1番目の式を3倍、2番目の式を2倍する。

$

\begin{cases}

-6a - 9b = -15 \\

6a - 4b = 28

\end{cases}

$

足し合わせる。

$-13b = 13$

$b = -1$

7. $b=-1$を $-2a - 3b = -5$ に代入する。

$-2a - 3(-1) = -5$

$-2a + 3 = -5$

$-2a = -8$

$a = 4$

###

3. 最終的な答え

**(1)**

$a = 3$

$b = 2$

**(2)**

$a = 4$

$b = -1$