(1) 連立方程式 $ax + by = 8$ $bx - ay = 1$ の解が $x=2$, $y=1$ であるとき、$a$, $b$ の値を求める。 (2) 連立方程式 $x + y = 1$ $ax - by = -5$ と連立方程式 $bx + ay = 14$ $3x + 2y = 0$ が同じ解をもつとき、$a$, $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 連立方程式

$ax + by = 8$

$bx - ay = 1$

の解が $x=2$, $y=1$ であるとき、$a$, $b$ の値を求める。

(2) 連立方程式

$x + y = 1$

$ax - by = -5$

と連立方程式

$bx + ay = 14$

$3x + 2y = 0$

が同じ解をもつとき、$a$, $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$x=2, y=1$ を連立方程式に代入する。

$2a + b = 8$ (1)

$2b - a = 1$ (2)

(2)を2倍すると $4b - 2a = 2$ (3)

(1)+(3)より $5b = 10$

$b=2$

これを(1)に代入すると

$2a + 2 = 8$

$2a = 6$

$a = 3$

(2)

連立方程式

$3x + 2y = 0$

$x + y = 1$

を解く。

$x = 1 - y$ を $3x + 2y = 0$ に代入すると

$3(1-y) + 2y = 0$

$3 - 3y + 2y = 0$

$3 - y = 0$

$y = 3$

$x = 1 - y = 1 - 3 = -2$

したがって、$x = -2$, $y = 3$

これを連立方程式

$ax - by = -5$

$bx + ay = 14$

に代入する。

$-2a - 3b = -5$ (1)

$-2b + 3a = 14$ (2)

(1)を3倍、(2)を2倍すると

$-6a - 9b = -15$ (3)

$-4b + 6a = 28$ (4)

(3)+(4)より $-13b = 13$

$b = -1$

(1)に代入すると

$-2a - 3(-1) = -5$

$-2a + 3 = -5$

$-2a = -8$

$a = 4$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3, b = 2$

(2) $a = 4, b = -1$