与えられた式 $ax^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bx^2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

与えられた式 $ax^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3 - bx^2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x$ を含む項と含まない項に分けます。

$ax^2 - bx^2 - a^3 - a^2b + ab^2 + b^3$

次に、$x$ を含む項を $x^2$ でくくり、残りの項を整理します。

$(a - b)x^2 - (a^3 + a^2b - ab^2 - b^3)$

残りの項を因数分解するために、$a^3 + a^2b - ab^2 - b^3$ を $a$ の降べきの順に並べると、

$a^3 + a^2b - ab^2 - b^3 = a^2(a+b) - b^2(a+b)$

$a+b$ をくくり出すと、

$(a^2 - b^2)(a + b)$

さらに、$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ であるから、

$(a - b)(a + b)(a + b) = (a - b)(a + b)^2$

したがって、

$(a - b)x^2 - (a - b)(a + b)^2 = (a - b)(x^2 - (a + b)^2)$

さらに、$x^2 - (a + b)^2 = (x - (a+b))(x + (a+b)) = (x - a - b)(x + a + b)$ であるから、

$(a - b)(x - a - b)(x + a + b)$

3. 最終的な答え

$(a - b)(x - a - b)(x + a + b)$