与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を展開し、整理して簡単にします。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc$ を展開し、整理して簡単にします。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b-c)(ab-bc-ca)$ を展開します。

$(a+b-c)(ab-bc-ca) = a(ab-bc-ca) + b(ab-bc-ca) - c(ab-bc-ca)$

$= a^2b - abc - ca^2 + ab^2 - b^2c - abc - abc + bc^2 + c^2a$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - a^2c - b^2c - 3abc$

次に、展開した式に $abc$ を加えます。

$a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - a^2c - b^2c - 3abc + abc$

$= a^2b + ab^2 + bc^2 + c^2a - a^2c - b^2c - 2abc$

この式を因数分解することを試みます。

$a^2b - a^2c + ab^2 - 2abc + ac^2 + bc^2 - b^2c$

$= a^2(b-c) + a(b^2 - 2bc + c^2) + bc(c-b)$

$= a^2(b-c) + a(b-c)^2 - bc(b-c)$

$= (b-c)[a^2 + a(b-c) - bc]$

$= (b-c)[a^2 + ab - ac - bc]$

$= (b-c)[a(a+b) - c(a+b)]$

$= (b-c)(a+b)(a-c)$

$= -(c-b)(a+b)(a-c)$

$= (a+b)(c-a)(c-b)$

$= -(a+b)(a-c)(b-c)$

$= (a+b)(c-a)(c-b)$

よって、$(a+b-c)(ab-bc-ca) + abc = (a+b)(b-c)(a-c) = -(a+b)(c-a)(c-b) = (a+b)(b-c)(a-c)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b-c)(a-c)$