双曲線 $C: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $A(\frac{4}{\cos\theta}, 3\tan\theta)$ と $B(4, 0)$ をとる。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。点AにおけるCの接線と点BにおけるCの接線の交点をDとする。Cの焦点のうちx座標が正であるものをFとおく。 (1) Dの座標を求めよ。 (2) $\tan\frac{\theta}{2} = m$ とおく。$\tan \angle DFB$ を $m$ を用いて表せ。 (3) 直線 DF は $\angle AFB$ を2等分することを証明せよ。

1. 問題の内容

双曲線 $C: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ 上の点 $A(\frac{4}{\cos\theta}, 3\tan\theta)$ と $B(4, 0)$ をとる。ただし、$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ とする。点AにおけるCの接線と点BにおけるCの接線の交点をDとする。Cの焦点のうちx座標が正であるものをFとおく。

(1) Dの座標を求めよ。

(2) $\tan\frac{\theta}{2} = m$ とおく。$\tan \angle DFB$ を $m$ を用いて表せ。

(3) 直線 DF は $\angle AFB$ を2等分することを証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) 点Aにおける接線の方程式は

$\frac{x}{16}\cdot \frac{4}{\cos\theta} - \frac{y}{9} \cdot 3\tan\theta = 1$

$\frac{x}{4\cos\theta} - \frac{y\tan\theta}{3} = 1$

点Bにおける接線の方程式は

$\frac{x}{16} \cdot 4 - \frac{y}{9} \cdot 0 = 1$

$\frac{x}{4} = 1$

$x = 4$

点Dは２つの接線の交点であるから、$x=4$ を代入して

$\frac{4}{4\cos\theta} - \frac{y\tan\theta}{3} = 1$

$\frac{1}{\cos\theta} - \frac{y\tan\theta}{3} = 1$

$\frac{y\tan\theta}{3} = \frac{1}{\cos\theta} - 1 = \frac{1-\cos\theta}{\cos\theta}$

$y = \frac{3(1-\cos\theta)}{\cos\theta\tan\theta} = \frac{3(1-\cos\theta)}{\sin\theta} = \frac{3(1-\cos\theta)}{\sin\theta}\cdot \frac{1+\cos\theta}{1+\cos\theta} = \frac{3(1-\cos^2\theta)}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \frac{3\sin^2\theta}{\sin\theta(1+\cos\theta)} = \frac{3\sin\theta}{1+\cos\theta}$

$y = \frac{3(2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2})}{1+2\cos^2\frac{\theta}{2}-1} = \frac{6\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}}{2\cos^2\frac{\theta}{2}} = 3\tan\frac{\theta}{2} = 3m$

よって、Dの座標は $(4, 3m)$

(2) $F$の座標は、双曲線 $C: \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ より、焦点の座標は $(\pm c, 0)$ で、 $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ なので、$c = 5$

したがって、Fの座標は $(5, 0)$

$\tan \angle DFB = \frac{y_D - y_F}{x_B - x_D} = \frac{3m}{4-5} = -3m$

(3)

3. 最終的な答え

(1) Dの座標: $(4, 3\tan\frac{\theta}{2})$

(2) $\tan \angle DFB = -3\tan\frac{\theta}{2}$

(3) (証明略)