正四面体と正六面体の各面に色を塗る問題です。 (1) 12色の絵の具で正四面体の各面を異なる色で塗る方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する塗り方は同じとみなす。 (2) 8色の絵の具で正六面体の各面を異なる色で塗る方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する塗り方は同じとみなす。

1. 問題の内容

正四面体と正六面体の各面に色を塗る問題です。

(1) 12色の絵の具で正四面体の各面を異なる色で塗る方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する塗り方は同じとみなす。

(2) 8色の絵の具で正六面体の各面を異なる色で塗る方法は何通りあるか。ただし、回転して一致する塗り方は同じとみなす。

2. 解き方の手順

(1) 正四面体の場合

まず、1つの面を固定します。この面の色は12色から選べます。

次に、残りの3つの面を塗ります。

3つの面を塗る色の選び方は、残りの11色から3色を選ぶ順列なので、$11 \times 10 \times 9$ 通りです。

しかし、正四面体を上から見て回転させると、3つの面の色の並び方が3通りあるので、3で割る必要があります。

したがって、正四面体の塗り方は、

$\frac{11 \times 10 \times 9}{3} = 330$ 通りです。

(2) 正六面体の場合

まず、1つの面を固定します。この面の色は8色から選べます。

次に、その反対側の面を塗ります。残りの7色から1色を選ぶので7通りです。

残りの4つの側面を塗ります。残りの6色から4色を選ぶ順列は $6 \times 5 \times 4 \times 3$ 通りです。

しかし、正六面体を側面から見て回転させると、4つの面の色の並び方が4通りあるので、4で割る必要があります。

したがって、側面の塗り方は $\frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4} = 90$ 通りです。

正六面体の塗り方は、

$7 \times \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4} = 7 \times 90 = 630$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) 正四面体を面の色がすべて異なるように塗る塗り方は 330 通り。

(2) 正六面体を面の色がすべて異なるように塗る塗り方は 70 通り。

最終解答：

(1) 330

(2) 70