四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をG、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OCを2:3に内分する点をEとする。直線OGと平面DBEの交点をPとするとき、OP:OGを求める。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、三角形ABCの重心をG、辺OAを1:2に内分する点をD、辺OCを2:3に内分する点をEとする。直線OGと平面DBEの交点をPとするとき、OP:OGを求める。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OG}$を求める。Gは三角形ABCの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

ここで、$\vec{OP} = k\vec{OG}$ とおくと、

$\vec{OP} = \frac{k}{3}\vec{a} + \frac{k}{3}\vec{b} + \frac{k}{3}\vec{c}$ ...(1)

(2) $\vec{OP}$を、点D,B,Eを使って表すことを考える。

$\vec{OP}$は平面DBE上の点なので、実数s, tを用いて

$\vec{BP} = s\vec{BD} + t\vec{BE}$ と表せる。

ここで、$\vec{BD} = \vec{OD} - \vec{OB} = \frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}$

$\vec{BE} = \vec{OE} - \vec{OB} = \frac{2}{5}\vec{c} - \vec{b}$

なので、

$\vec{BP} = s(\frac{1}{3}\vec{a} - \vec{b}) + t(\frac{2}{5}\vec{c} - \vec{b}) = \frac{s}{3}\vec{a} - (s+t)\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$

$\vec{OP} = \vec{OB} + \vec{BP}$ なので、

$\vec{OP} = \vec{b} + \frac{s}{3}\vec{a} - (s+t)\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c} = \frac{s}{3}\vec{a} + (1-s-t)\vec{b} + \frac{2t}{5}\vec{c}$ ...(2)

(3) (1)と(2)の係数を比較して、

$\frac{k}{3} = \frac{s}{3}$

$\frac{k}{3} = 1-s-t$

$\frac{k}{3} = \frac{2t}{5}$

これらの連立方程式を解く。

$\frac{s}{3} = \frac{2t}{5}$ より $s = \frac{6t}{5}$

$\frac{k}{3} = \frac{s}{3}$ なので、$\frac{k}{3} = \frac{6t}{15} = \frac{2t}{5}$

$\frac{k}{3} = 1-s-t = 1 - \frac{6t}{5} - t = 1 - \frac{11t}{5}$

$\frac{2t}{5} = 1 - \frac{11t}{5}$ より、$\frac{13t}{5} = 1$ なので、$t = \frac{5}{13}$

$\frac{k}{3} = \frac{2t}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{13} = \frac{2}{13}$

よって、$k = \frac{6}{13}$

したがって、

$\vec{OP} = \frac{6}{13}\vec{OG}$

$OP:OG = 6:13$

3. 最終的な答え

OP:OG = 6:13