一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OBを2:1に内分する点をD, 辺OCの中点をE, 辺BCの中点をFとする。線分DEと線分OFの交点をGとするとき、線分OGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

一辺の長さが1の正四面体OABCにおいて、辺OBを2:1に内分する点をD, 辺OCの中点をE, 辺BCの中点をFとする。線分DEと線分OFの交点をGとするとき、線分OGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

$\vec{OA}=\vec{a}$, $\vec{OB}=\vec{b}$, $\vec{OC}=\vec{c}$とおく。

点Gは線分OF上にあるので、実数$k$を用いて、

$\vec{OG} = k\vec{OF}$と表せる。

点Fは辺BCの中点なので、$\vec{OF} = \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$である。

よって、

$\vec{OG} = k(\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}) = \frac{k}{2}\vec{b} + \frac{k}{2}\vec{c}$ ... (1)

次に、点Gは線分DE上にあるので、DG:GE=n:(1-n)とすると、

$\vec{OG} = (1-n)\vec{OD} + n\vec{OE}$と表せる。

点Dは辺OBを2:1に内分するので、$\vec{OD}=\frac{2}{3}\vec{OB} = \frac{2}{3}\vec{b}$

点Eは辺OCの中点なので、$\vec{OE} = \frac{1}{2}\vec{OC} = \frac{1}{2}\vec{c}$

よって、

$\vec{OG} = (1-n)\frac{2}{3}\vec{b} + n\frac{1}{2}\vec{c} = \frac{2(1-n)}{3}\vec{b} + \frac{n}{2}\vec{c}$ ... (2)

$\vec{b}$, $\vec{c}$は一次独立なので、(1)と(2)の係数を比較すると、

$\frac{k}{2} = \frac{2(1-n)}{3}$かつ$\frac{k}{2} = \frac{n}{2}$

これより、$\frac{2(1-n)}{3} = \frac{n}{2}$

$4(1-n) = 3n$

$4-4n = 3n$

$7n = 4$

$n = \frac{4}{7}$

よって、$\frac{k}{2} = \frac{4}{7} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{7}$

$k = \frac{4}{7}$

したがって、$\vec{OG} = \frac{4}{7} \vec{OF}$ より、線分OGの長さは

$|\vec{OG}| = \frac{4}{7} |\vec{OF}| = \frac{4}{7} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{7}$

ここで、一辺の長さが1の正四面体の辺BCの中点Fから点Oまでの距離は、

$|\vec{OF}| = \sqrt{|\vec{OB}|^2 + |\vec{BF}|^2 - 2|\vec{OB}||\vec{BF}|cos(\pi/3)} = \sqrt{1^2 + (1/2)^2 - 2(1)(1/2)(1/2)} = \sqrt{1+1/4-1/2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、OG = $\frac{4}{7} * \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{2\sqrt{3}}{7}$