一辺の長さが6の立方体について、以下の値を求める問題です。 (3) ① $CF$, $FH$, $CH$ の長さ ② $\overrightarrow{CF}$ と $\overrightarrow{CH}$ のなす角 $\theta$ ③ 内積 $\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CH}$

1. 問題の内容

一辺の長さが6の立方体について、以下の値を求める問題です。

(3)

① $CF$, $FH$, $CH$ の長さ

② $\overrightarrow{CF}$ と $\overrightarrow{CH}$ のなす角 $\theta$

③ 内積 $\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CH}$

2. 解き方の手順

(3)① $CF$, $FH$, $CH$ の長さについて：

$CF$, $FH$, $CH$ は、いずれも立方体の対角線なので、長さは等しく、$6\sqrt{2}$ となります。

(3)② $\overrightarrow{CF}$ と $\overrightarrow{CH}$ のなす角 $\theta$ について：

$\triangle CFH$ は正三角形なので、$\angle FCH = 60^{\circ}$ となります。したがって、$\overrightarrow{CF}$ と $\overrightarrow{CH}$ のなす角は $60^{\circ}$ です。

(3)③ 内積 $\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CH}$ について：

内積の定義より、

$\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CH} = |\overrightarrow{CF}| |\overrightarrow{CH}| \cos \theta$

$\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CH} = 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos 60^{\circ} = 6\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = 36 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 36$

3. 最終的な答え

(3)

① $CF = 6\sqrt{2}$, $FH = 6\sqrt{2}$, $CH = 6\sqrt{2}$

② $\theta = 60^{\circ}$

③ $\overrightarrow{CF} \cdot \overrightarrow{CH} = 36$