台形ABCDにおいて、$AB = 6$, $BC = 4$, $CD = 3$, $DA = 5$, $AB // DC$である。辺AD, BC上にそれぞれ点P, Qを $2AP = CQ$ となるようにとる。線分PQが台形ABCDの面積を2等分するとき、線分APの長さを求めよ。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、$AB = 6$, $BC = 4$, $CD = 3$, $DA = 5$, $AB // DC$である。辺AD, BC上にそれぞれ点P, Qを $2AP = CQ$ となるようにとる。線分PQが台形ABCDの面積を2等分するとき、線分APの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

台形ABCDの面積をSとする。PQが台形ABCDの面積を2等分するので、台形APQDの面積は$\frac{1}{2}S$である。

$AP = x$とすると、$CQ = 2x$となる。したがって、$PB = 5-x$、$BQ = 4 - 2x$である。

台形の面積の公式より、$S = \frac{1}{2}(AB+CD) \times h$ （hは高さ）である。ここで、$AB=6$, $CD=3$より、$S = \frac{1}{2}(6+3)h = \frac{9}{2}h$

台形APQDの面積をS'とすると、$S' = \frac{1}{2}(PQ)*h'$となる。（h'は台形APQDの高さ）

台形ABCDの面積を2等分するので、$S' = \frac{1}{2}S$となる。

図から、$AP:AD = x:5$、$CQ:CB = 2x:4$

台形APQDの面積は、台形ABCDの面積の半分なので、$\frac{1}{2}S$である。

$S' = \frac{1}{2} S$

$\frac{1}{2}(AP+CQ) h = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2} (AD+BC) h$

$台形APQDの面積 =$\frac{1}{2} \times$ 台形ABCDの面積

台形APQD = $\frac{(AP+CQ)}{2}*高さ$

台形ABCD = $\frac{(AD+BC)}{2}*高さ$

$\frac{(AP+CQ)}{2}*高さ = \frac{1}{2} * \frac{(AD+BC)}{2}*高さ$

$(AP+CQ) = \frac{1}{2}(AD+BC)$

$AP = x$, $CQ = 2x$, $AD=5$, $BC = 4$

$(x+2x) = \frac{1}{2}(5+4)$

$3x = \frac{9}{2}$

$x = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{2}$