図のような道の面積 $S$ と、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求め、 $S=al$ を証明する問題です。ここで、$a$ は道の幅、$h$ は道の長さ（長方形部分の長さ）を表します。空欄AとBに当てはまる式を選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

図のような道の面積 $S$ と、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を求め、 $S=al$ を証明する問題です。ここで、$a$ は道の幅、$h$ は道の長さ（長方形部分の長さ）を表します。空欄AとBに当てはまる式を選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

まず、道の面積 $S$ を計算します。

大きい長方形の面積から小さい長方形の面積を引くと考えます。大きい長方形は半径 $a$ の半円が2つと、縦が $2a$, 横が $h$ の長方形で構成され、小さい長方形は、縦が $h$ 、半円の部分を合わせた横の長さが $2a$ です。したがって、道の面積は、

$S = \pi (a+a)^2/2*2 + 2(a+a)h - (\pi a^2/2*2+ 2ah)$

$S = \pi (2a)^2/2*2 + 4ah - (\pi a^2+ 2ah)$

$S = \pi (4a^2) + 4ah - \pi a^2 - 2ah$

$S = 4\pi a^2 + 4ah - \pi a^2 - 2ah$

$S = 3\pi a^2 + 2ah$

ここで間違いに気づきました。半円ではなく、円形を想定して計算してしまいました。改めて計算します。

道の面積は、大きい長方形の面積から小さい長方形の面積を引くと考えます。

大きい長方形は半径 $a$ の半円が2つと、縦が $2a$, 横が $h$ の長方形で構成され、小さい長方形は、半径$0$の半円が二つと、縦が $0$, 横が $h$ の長方形で構成されます。したがって、道の面積は、半径 $a$ の円と、縦 $2a$、横 $h$ の長方形の面積の和となります。

$S = \pi a^2 + 2ah$

次に、道の真ん中を通る線の長さ $l$ を計算します。これは、半径 $a$ の円周の半分が2つと、長さ $h$ の線分が2つを合わせたものなので、

$l = \pi a + 2h$

したがって、$A = \pi a^2 + 2ah$、$B = \pi a + 2h$ となります。

3. 最終的な答え

① Α: $\pi a^2 + 2ha$ Β: $\pi a + 2h$