与えられた式を因数分解します。具体的には、以下の5つの式を因数分解します。 (7) $(x+12)(x-12)$ (8) $m^2 + 15m + 54$ (9) $49m^2 - 25n^2$ (10) $x^2 + 18x + 81$ (11) $2t^2 + 28t + 98$

はい、承知いたしました。画像にある問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解します。具体的には、以下の5つの式を因数分解します。

(7) $(x+12)(x-12)$

(8) $m^2 + 15m + 54$

(9) $49m^2 - 25n^2$

(10) $x^2 + 18x + 81$

(11) $2t^2 + 28t + 98$

2. 解き方の手順

(7) $(x+12)(x-12)$ は、和と差の積の公式 $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ を使って展開できます。

$(x+12)(x-12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$

(8) $m^2 + 15m + 54$ は、$(m+a)(m+b) = m^2 + (a+b)m + ab$ となる $a$ と $b$ を探します。$a+b = 15$ かつ $ab = 54$ となる $a$ と $b$ は、$a=6$、$b=9$ です。

よって、$m^2 + 15m + 54 = (m+6)(m+9)$

(9) $49m^2 - 25n^2$ は、差の平方の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を使います。$49m^2 = (7m)^2$、$25n^2 = (5n)^2$ なので、$a = 7m$、$b = 5n$ です。

よって、$49m^2 - 25n^2 = (7m+5n)(7m-5n)$

(10) $x^2 + 18x + 81$ は、平方完成の公式 $(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2$ を使います。$18x = 2ax$ より、$a = 9$ です。$a^2 = 9^2 = 81$ なので、

$x^2 + 18x + 81 = (x+9)^2$

(11) $2t^2 + 28t + 98$ は、まず全体を2でくくりだします。$2t^2 + 28t + 98 = 2(t^2 + 14t + 49)$。次に、$t^2 + 14t + 49$ を平方完成します。$(t+a)^2 = t^2 + 2at + a^2$ より、$14t = 2at$、$a=7$。$a^2 = 7^2 = 49$ なので、$t^2 + 14t + 49 = (t+7)^2$。

よって、$2t^2 + 28t + 98 = 2(t+7)^2$

3. 最終的な答え

(7) $x^2 - 144$

(8) $(m+6)(m+9)$

(9) $(7m+5n)(7m-5n)$

(10) $(x+9)^2$

(11) $2(t+7)^2$