$a > 0$ とする。$a - \frac{2}{a} = 4$ のとき、次の式の値を求めよ。 (1) $a^2 + \frac{4}{a^2}$ (2) $a + \frac{2}{a}$ (3) $a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3}$

1. 問題の内容

$a > 0$ とする。$a - \frac{2}{a} = 4$ のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $a^2 + \frac{4}{a^2}$

(2) $a + \frac{2}{a}$

(3) $a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3}$

2. 解き方の手順

(1)

$a - \frac{2}{a} = 4$ の両辺を2乗すると、

$$(a - \frac{2}{a})^2 = 4^2$$

$$a^2 - 2(a)(\frac{2}{a}) + (\frac{2}{a})^2 = 16$$

$$a^2 - 4 + \frac{4}{a^2} = 16$$

$$a^2 + \frac{4}{a^2} = 16 + 4$$

$$a^2 + \frac{4}{a^2} = 20$$

(2)

$(a + \frac{2}{a})^2 = a^2 + 2(a)(\frac{2}{a}) + (\frac{2}{a})^2 = a^2 + 4 + \frac{4}{a^2}$

$a^2 + \frac{4}{a^2} = 20$ より、

$(a + \frac{2}{a})^2 = 20 + 4 = 24$

$a > 0$ より $a + \frac{2}{a} > 0$ であるから、

$a + \frac{2}{a} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(3)

$a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3} = a^3 - \frac{8}{a^3} - (a^2 - \frac{4}{a^2})$

$a - \frac{2}{a} = 4$

$(a - \frac{2}{a})^3 = a^3 - 3a^2(\frac{2}{a}) + 3a(\frac{2}{a})^2 - (\frac{2}{a})^3 = a^3 - 6a + \frac{12}{a} - \frac{8}{a^3}$

$a^3 - \frac{8}{a^3} = (a - \frac{2}{a})^3 + 6a - \frac{12}{a} = (a - \frac{2}{a})^3 + 6(a - \frac{2}{a})$

$a^3 - \frac{8}{a^3} = 4^3 + 6(4) = 64 + 24 = 88$

$a^2 - \frac{4}{a^2} = (a - \frac{2}{a})(a + \frac{2}{a}) = 4(2\sqrt{6}) = 8\sqrt{6}$

よって、

$a^3 - a^2 + \frac{4}{a^2} - \frac{8}{a^3} = a^3 - \frac{8}{a^3} - (a^2 - \frac{4}{a^2}) = 88 - 8\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $20$

(2) $2\sqrt{6}$

(3) $88 - 8\sqrt{6}$