与えられた3つの行列 $A$, $B$, $C$ について、それぞれの $n$ 乗 $A^n$, $B^n$, $C^n$ を求める問題です。 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた3つの行列 $A$, $B$, $C$ について、それぞれの $n$ 乗 $A^n$, $B^n$, $C^n$ を求める問題です。

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix}$, $C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A$ の $n$ 乗を求める

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A^2 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A^3 = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 2^n-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ と推測できる。

数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき $A^1 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ で成立。

$n=k$ のとき $A^k = \begin{bmatrix} 2^k & 2^k-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ が成立すると仮定する。

$A^{k+1} = A^k A = \begin{bmatrix} 2^k & 2^k-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^{k+1} & 2^k + 2^k - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2^{k+1} & 2^{k+1} - 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

したがって $n=k+1$ のときも成立。

(2) 行列 $B$ の $n$ 乗を求める

$B = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & b \end{bmatrix}$

$B^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & a^n & 0 \\ 0 & 0 & b^n \end{bmatrix}$

(3) 行列 $C$ の $n$ 乗を求める

$C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

$C^3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$

したがって、$C^n$ は $n$ を3で割った余りによって決まる。

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $C^n = I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $C^n = C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $C^n = C^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $A^n = \begin{bmatrix} 2^n & 2^n-1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

(2) $B^n = \begin{bmatrix} 3^n & 0 & 0 \\ 0 & a^n & 0 \\ 0 & 0 & b^n \end{bmatrix}$

(3)

$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $C^n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $C^n = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $C^n = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$