数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下のように与えられています。 $S = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n - 3)(4n + 1)}$

1. 問題の内容

数列の和 $S$ を求める問題です。数列は以下のように与えられています。

$S = \frac{1}{1 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 9} + \frac{1}{9 \cdot 13} + \dots + \frac{1}{(4n - 3)(4n + 1)}$

2. 解き方の手順

この数列の各項は部分分数分解できます。各項の分母を $a_n = (4n - 3)(4n + 1)$ とすると、

$\frac{1}{(4n - 3)(4n + 1)} = \frac{A}{4n - 3} + \frac{B}{4n + 1}$

が成り立ちます。両辺に $(4n - 3)(4n + 1)$ を掛けると、

$1 = A(4n + 1) + B(4n - 3)$

$1 = (4A + 4B)n + (A - 3B)$

この式が任意の $n$ に対して成り立つためには、

$4A + 4B = 0$

$A - 3B = 1$

が成立する必要があります。最初の式より $A = -B$ なので、これを二番目の式に代入すると、

$-B - 3B = 1$

$-4B = 1$

$B = -\frac{1}{4}$

したがって、$A = \frac{1}{4}$ となります。よって、

$\frac{1}{(4n - 3)(4n + 1)} = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4n - 3} - \frac{1}{4n + 1} \right)$

数列の和 $S$ は以下のように計算できます。

$S = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(4k - 3)(4k + 1)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k - 3} - \frac{1}{4k + 1} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) + \left( \frac{1}{9} - \frac{1}{13} \right) + \dots + \left( \frac{1}{4n - 3} - \frac{1}{4n + 1} \right) \right]$

これはtelescoping sumになっているので、

$S = \frac{1}{4} \left( 1 - \frac{1}{4n + 1} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{4n + 1 - 1}{4n + 1} \right)$

$S = \frac{1}{4} \left( \frac{4n}{4n + 1} \right)$

$S = \frac{n}{4n + 1}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{n}{4n + 1}$