(1) $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ の和を求める。 (2) $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ (ただし$n \ge 2$) の和を求める。

1. 問題の内容

(1) $S = \frac{1}{1 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 7} + \frac{1}{7 \cdot 10} + \dots + \frac{1}{(3n-2)(3n+1)}$ の和を求める。

(2) $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \dots + \frac{1}{n(n+2)}$ (ただし$n \ge 2$) の和を求める。

2. 解き方の手順

(1)

分数の部分を部分分数分解する。

$\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

したがって、

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{7} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{10} \right) + \dots + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{7} + \frac{1}{7} - \frac{1}{10} + \dots + \frac{1}{3n-2} - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( 1 - \frac{1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n+1 - 1}{3n+1} \right)$

$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3n}{3n+1} \right)$

$S = \frac{n}{3n+1}$

(2)

分数の部分を部分分数分解する。

$\frac{1}{n(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

したがって、

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{n+2 + n+1}{(n+1)(n+2)} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right)$

$S = \frac{1}{2} \left( \frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)} \right)$

$S = \frac{1}{4(n+1)(n+2)} \left( 3(n^2+3n+2) - 4n - 6 \right)$

$S = \frac{1}{4(n+1)(n+2)} \left( 3n^2 + 9n + 6 - 4n - 6 \right)$

$S = \frac{1}{4(n+1)(n+2)} \left( 3n^2 + 5n \right)$

$S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{n}{3n+1}$

(2) $\frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$