数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ と、その極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$ で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ と、その極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$ を変形します。

固定点 $α$ を求めます。$α = \frac{3}{4}α + 1$ を解くと、 $\frac{1}{4}α = 1$ より $α = 4$ となります。

そこで、 $a_{n+1} - 4 = \frac{3}{4}a_n + 1 - 4 = \frac{3}{4}a_n - 3 = \frac{3}{4}(a_n - 4)$ と変形できます。

数列 $\{a_n - 4\}$ は、初項 $a_1 - 4 = 1 - 4 = -3$, 公比 $\frac{3}{4}$ の等比数列です。

したがって、 $a_n - 4 = (a_1 - 4)\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = -3 \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ となります。

よって、 $a_n = 4 - 3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$ が一般項です。

次に、極限を求めます。

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(4 - 3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}\right)$

$\left|\frac{3}{4}\right| < 1$ より、 $\lim_{n \to \infty} \left(\frac{3}{4}\right)^{n-1} = 0$ なので、

$\lim_{n \to \infty} a_n = 4 - 3 \cdot 0 = 4$ となります。

3. 最終的な答え

一般項: $a_n = 4 - 3\left(\frac{3}{4}\right)^{n-1}$

極限: $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$