## 解答

## 解答

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1. 問題の内容

問題は、いくつかの直角三角形において、角度$\theta$が与えられた状態で、$x$の長さを求める問題です。ただし、具体的な三角関数の値は与えられていません。各三角形の形状と既知の辺の長さから、$x$の値を特定します。

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2. 解き方の手順

三角関数の定義を使用します。$\theta$が与えられているので、$\cos \theta$, $\sin \theta$, $\tan \theta$ を用いて$x$を求めます。各問題について、以下の手順で解きます。

1. $\theta$に対する辺の相対的な位置（対辺、隣辺、斜辺）を確認します。

2. 適切な三角関数（$\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$）を選びます。

3. 選んだ三角関数の定義を用いて、$x$を含む方程式を立てます。

4. 方程式を解いて、$x$を求めます。

各問題の解答を以下に示します。

**問題１**

* $\cos \theta = \frac{6}{x}$

* $x = \frac{6}{\cos \theta}$

**問題２**

* $\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

* $x = \frac{4\sqrt{2}}{\cos \theta} = \frac{9}{\sin \theta}$

与えられた辺からでは$x$は決定できないので、別の方法で解きます。

$\tan \theta = \frac{x}{4\sqrt{2}}$

$\cos \theta = \frac{4\sqrt{2}}{9}$より、$x$を求めることはできません。しかし、$x^2 + (4\sqrt{2})^2 = 9^2$なので、$x^2 + 32 = 81$

$x^2 = 49$

$x = 7$

**問題５**

* $\sin \theta = \frac{3}{x}$

* $x = \frac{3}{\sin \theta}$

**問題６**

* $\tan \theta = \frac{5}{\sqrt{74}}$

* $\cos \theta = \frac{\sqrt{74}}{x}$

* $x = \frac{\sqrt{74}}{\cos \theta}$

また、ピタゴラスの定理から

$x = \sqrt{5^2 + (\sqrt{74})^2} = \sqrt{25+74} = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$

**問題９**

* $\sin \theta = \frac{4}{x}$

* $x = \frac{4}{\sin \theta}$

**問題１０**

* $\cos \theta = \frac{6\sqrt{2}}{x}$

* $x = \frac{6\sqrt{2}}{\cos \theta}$

また、ピタゴラスの定理より、

$x = \sqrt{(6\sqrt{2})^2 + 7^2} = \sqrt{72+49} = \sqrt{121} = 11$

**問題１３**

* $\cos \theta = \frac{9}{10}$

* $\cos \theta = \frac{x}{10}$

ピタゴラスの定理より、$x = \sqrt{10^2 - 9^2} = \sqrt{19}$

**問題１４**

* $\sin \theta = \frac{4}{x}$

* $x = \frac{4}{\sin \theta}$

ピタゴラスの定理より、$x = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{41}$

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3. 最終的な答え

問題1: $x = \frac{6}{\cos \theta}$

問題2: $x = 7$

問題5: $x = \frac{3}{\sin \theta}$

問題6: $x = 3\sqrt{11}$

問題9: $x = \frac{4}{\sin \theta}$

問題10: $x = 11$

問題13: $x = \sqrt{19}$

問題14: $x = \sqrt{41}$