$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$であるとき、$x^2 + y^2$の値を求める。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}}$であるとき、$x^2 + y^2$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$の分母を有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{(\sqrt{7} - \sqrt{5})(\sqrt{7} + \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{(\sqrt{7} + \sqrt{5})(\sqrt{7} - \sqrt{5})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{7 - 5} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2}$

次に、$x^2$と$y^2$を計算します。

$x^2 = (\frac{\sqrt{7} + \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{7} + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{7 + 2\sqrt{35} + 5}{4} = \frac{12 + 2\sqrt{35}}{4} = \frac{6 + \sqrt{35}}{2}$

$y^2 = (\frac{\sqrt{7} - \sqrt{5}}{2})^2 = \frac{(\sqrt{7} - \sqrt{5})^2}{4} = \frac{7 - 2\sqrt{35} + 5}{4} = \frac{12 - 2\sqrt{35}}{4} = \frac{6 - \sqrt{35}}{2}$

最後に、$x^2 + y^2$を計算します。

$x^2 + y^2 = \frac{6 + \sqrt{35}}{2} + \frac{6 - \sqrt{35}}{2} = \frac{6 + \sqrt{35} + 6 - \sqrt{35}}{2} = \frac{12}{2} = 6$

3. 最終的な答え

6