$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ 、 $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}$ 、 $y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{2 + 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 + 2\sqrt{2}$

$y = \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} = \frac{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{2 - 2\sqrt{2} + 1}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2}$

次に、$x^2$ と $y^2$ を計算します。

$x^2 = (3 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 12\sqrt{2} + 8 = 17 + 12\sqrt{2}$

$y^2 = (3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}$

最後に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (17 + 12\sqrt{2}) + (17 - 12\sqrt{2}) = 17 + 17 = 34$

3. 最終的な答え

$x^2 + y^2 = 34$