与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開して整理する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(a+b)(b+c)(c+a)+abc$ を展開して整理する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開します。

$(a+b)(b+c) = ab + ac + b^2 + bc$

次に、$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a)$ を展開します。

$(ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc$

$= a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc$

これに $abc$ を加えます。

$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 2abc + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

この式は対称式になるように並べ替えることができます。

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

次に、この式が $(a+b)(b+c)(c+a) + abc$ と等しくなることを確認します。

式を変形すると、

$a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b)(bc + ba + c^2 + ac) + abc = abc + a^2b + ac^2 + a^2c + b^2c + ab^2 + bc^2 + abc + abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

この式を因数分解すると、

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)-abc+abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$となることはありません。

しかし、$a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$を$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$と書き直すことができます。

さらに、因数分解すると、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc$は$(a+b+c)(ab+bc+ca) - abc+ abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$と変形できることが分かります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = a^2b + a^2c + ab^2 + ac^2 + b^2c + bc^2 + 3abc$

言い換えると、$(a+b)(b+c)(c+a) + abc = (a+b+c)(ab+bc+ca)$