複素数 $\frac{2i}{3-i}$ を $a+bi$ ( $a$, $b$ は実数) の形で表したとき、問題の形式 $-\frac{ケ}{コ} + \frac{サ}{シ}i$ に当てはまるように、ケ, コ, サ, シに当てはまる数字を答える問題です。

1. 問題の内容

複素数 $\frac{2i}{3-i}$ を $a+bi$ ( $a$, $b$ は実数) の形で表したとき、問題の形式 $-\frac{ケ}{コ} + \frac{サ}{シ}i$ に当てはまるように、ケ, コ, サ, シに当てはまる数字を答える問題です。

2. 解き方の手順

複素数の分母に虚数単位 $i$ が含まれている場合、分母の共役複素数を分母分子にかけて分母を実数化します。

この場合、分母 $3-i$ の共役複素数は $3+i$ です。したがって、分母分子に $3+i$ をかけます。

$\frac{2i}{3-i} = \frac{2i(3+i)}{(3-i)(3+i)}$

分子を展開すると、

$2i(3+i) = 6i + 2i^2 = 6i - 2 = -2 + 6i$

分母を展開すると、

$(3-i)(3+i) = 3^2 - (i)^2 = 9 - (-1) = 9 + 1 = 10$

したがって、

$\frac{2i}{3-i} = \frac{-2+6i}{10} = \frac{-2}{10} + \frac{6}{10}i = -\frac{1}{5} + \frac{3}{5}i$

与えられた形式 $-\frac{ケ}{コ} + \frac{サ}{シ}i$ と比較すると、

ケ = 1

コ = 5

サ = 3

シ = 5

3. 最終的な答え

ケ = 1

コ = 5

サ = 3

シ = 5