(1) $a > 0$, $b > 0$ とする。 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a})$ が $ab = \boxed{ア}$ のとき最小となり、その最小値は $\boxed{イ}$ である。 (2) $x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $a > 0$, $b > 0$ とする。 $(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a})$ が $ab = \boxed{ア}$ のとき最小となり、その最小値は $\boxed{イ}$ である。

(2) $x > 1$ のとき、$x + \frac{2}{x-1}$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開する。

$(a + \frac{1}{b})(b + \frac{9}{a}) = ab + 9 + 1 + \frac{9}{ab} = ab + \frac{9}{ab} + 10$

相加平均・相乗平均の関係より、$ab > 0$ なので、

$ab + \frac{9}{ab} \ge 2\sqrt{ab \cdot \frac{9}{ab}} = 2\sqrt{9} = 6$

したがって、

$ab + \frac{9}{ab} + 10 \ge 6 + 10 = 16$

最小値をとるのは $ab = \frac{9}{ab}$ のとき、つまり $ab = 3$ のときである。

(2)

$x > 1$ より、$x - 1 > 0$ である。

$x + \frac{2}{x-1} = (x - 1) + \frac{2}{x-1} + 1$

相加平均・相乗平均の関係より、

$(x - 1) + \frac{2}{x-1} \ge 2\sqrt{(x-1) \cdot \frac{2}{x-1}} = 2\sqrt{2}$

したがって、

$x + \frac{2}{x-1} \ge 2\sqrt{2} + 1$

最小値をとるのは $x - 1 = \frac{2}{x-1}$ のとき、つまり $(x-1)^2 = 2$、 $x - 1 = \sqrt{2}$、 $x = 1 + \sqrt{2}$ のときである。

3. 最終的な答え

(1)

$ab = 3$ のとき最小となり、その最小値は 16 である。

(2)

最小値は $1 + 2\sqrt{2}$ である。