与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解または簡単にせよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解または簡単にせよ。

2. 解き方の手順

まず、各項を展開します。

$a(b+c)^2 = a(b^2 + 2bc + c^2) = ab^2 + 2abc + ac^2$

$b(c+a)^2 = b(c^2 + 2ca + a^2) = bc^2 + 2abc + ba^2$

$c(a+b)^2 = c(a^2 + 2ab + b^2) = ca^2 + 2abc + cb^2$

次に、これらの展開された項を元の式に代入します。

$ab^2 + 2abc + ac^2 + bc^2 + 2abc + ba^2 + ca^2 + 2abc + cb^2 - 4abc$

同類項をまとめます。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc - 4abc$

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

この式を並び替えて、因数分解を試みます。

$a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

ここで、$(a+b)(b+c)(c+a)$ を展開してみます。

$(a+b)(bc+c^2+ab+ac) = abc + ac^2 + a^2b + a^2c + b^2c + bc^2 + ab^2 + abc$

$= a^2(b+c) + b^2(a+c) + c^2(a+b) + 2abc$

したがって、$a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)$ となります。

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$