等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_5 = 125$, $S_{10} = 500$であるとき、$S_n$を求めよ。

1. 問題の内容

等差数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする。$S_5 = 125$, $S_{10} = 500$であるとき、$S_n$を求めよ。

2. 解き方の手順

等差数列の初項を$a$, 公差を$d$とする。

等差数列の和の公式より、

$$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$$

$S_5 = 125$より、

$$\frac{5}{2}(2a + 4d) = 125$$

$$5(a + 2d) = 125$$

$$a + 2d = 25 \qquad (1)$$

$S_{10} = 500$より、

$$\frac{10}{2}(2a + 9d) = 500$$

$$5(2a + 9d) = 500$$

$$2a + 9d = 100 \qquad (2)$$

(2) - 2 * (1)より、

$$2a + 9d - 2(a + 2d) = 100 - 2 * 25$$

$$2a + 9d - 2a - 4d = 100 - 50$$

$$5d = 50$$

$$d = 10$$

(1)に$d=10$を代入すると、

$$a + 2(10) = 25$$

$$a + 20 = 25$$

$$a = 5$$

したがって、$a=5$, $d=10$であるから、

$$S_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$$

$$S_n = \frac{n}{2}(2(5) + (n-1)10)$$

$$S_n = \frac{n}{2}(10 + 10n - 10)$$

$$S_n = \frac{n}{2}(10n)$$

$$S_n = 5n^2$$

3. 最終的な答え

$S_n = 5n^2$