与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解または簡単にしてください。

1. 問題の内容

与えられた式 $a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc$ を因数分解または簡単にしてください。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$a(b+c)^2 = a(b^2 + 2bc + c^2) = ab^2 + 2abc + ac^2$

$b(c+a)^2 = b(c^2 + 2ca + a^2) = bc^2 + 2abc + ba^2$

$c(a+b)^2 = c(a^2 + 2ab + b^2) = ca^2 + 2abc + cb^2$

これらの結果を元の式に代入します。

$a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc = (ab^2 + 2abc + ac^2) + (bc^2 + 2abc + ba^2) + (ca^2 + 2abc + cb^2) - 4abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 6abc - 4abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + ba^2 + ca^2 + cb^2 + 2abc$

この式を整理します。

$ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + 2abc = ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc$

$= ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 2abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

別の方法として、$(a+b)(b+c)(c+a)$を展開します。

$(a+b)(b+c)(c+a) = (ab + ac + b^2 + bc)(c+a) = abc + ac^2 + b^2c + bc^2 + a^2b + a^2c + ab^2 + abc$

$= ab^2 + ac^2 + bc^2 + a^2b + a^2c + b^2c + 2abc$

したがって、$a(b+c)^2 + b(c+a)^2 + c(a+b)^2 - 4abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$