不等式 $|x-1| + |x-2| \ge 1$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|x-1| + |x-2| \ge 1$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために、$x$ の値の範囲を3つの場合に分けて考えます。

(i) $x < 1$ のとき

$x-1 < 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、

$|x-1| = -(x-1) = 1-x$

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$

したがって、不等式は

$(1-x) + (2-x) \ge 1$

$3 - 2x \ge 1$

$-2x \ge -2$

$x \le 1$

$x < 1$ の場合を考えているので、$x \le 1$ と合わせて $x < 1$ が解となります。

(ii) $1 \le x < 2$ のとき

$x-1 \ge 0$ かつ $x-2 < 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x-2| = -(x-2) = 2-x$

したがって、不等式は

$(x-1) + (2-x) \ge 1$

$1 \ge 1$

これは常に成り立つので、$1 \le x < 2$ が解となります。

(iii) $x \ge 2$ のとき

$x-1 > 0$ かつ $x-2 \ge 0$ なので、

$|x-1| = x-1$

$|x-2| = x-2$

したがって、不等式は

$(x-1) + (x-2) \ge 1$

$2x - 3 \ge 1$

$2x \ge 4$

$x \ge 2$

$x \ge 2$ の場合を考えているので、$x \ge 2$ と合わせて $x \ge 2$ が解となります。

(i), (ii), (iii) より、解は

$x < 1$ または $1 \le x < 2$ または $x \ge 2$

これらを合わせると $x < 1$ または $x \ge 1$となり、$x$ は全ての実数となります。

3. 最終的な答え

すべての実数