不等式 $|x-1| + |x-2| < x$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $|x-1| + |x-2| < x$ を解きます。

2. 解き方の手順

絶対値記号を外すために場合分けを行います。

(i) $x < 1$ のとき

$|x-1| = 1-x$ かつ $|x-2| = 2-x$ なので、不等式は

$1-x + 2-x < x$

$3 - 2x < x$

$3 < 3x$

$1 < x$

これは、$x<1$ という条件に矛盾するので、解なし。

(ii) $1 \le x < 2$ のとき

$|x-1| = x-1$ かつ $|x-2| = 2-x$ なので、不等式は

$x-1 + 2-x < x$

$1 < x$

したがって、$1 < x < 2$

(iii) $2 \le x$ のとき

$|x-1| = x-1$ かつ $|x-2| = x-2$ なので、不等式は

$x-1 + x-2 < x$

$2x - 3 < x$

$x < 3$

したがって、$2 \le x < 3$

(i), (ii), (iii) より、解は

$1 < x < 2$ または $2 \le x < 3$

したがって、$1 < x < 3$

3. 最終的な答え

$1 < x < 3$