問題は、0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字を重複なく使ってできる6桁の整数について、以下の問いに答えるものです。 (1) 6桁の整数の個数を求めます。 (2) 6桁の整数で4の倍数であるものの個数を求めます。

1. 問題の内容

問題は、0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字を重複なく使ってできる6桁の整数について、以下の問いに答えるものです。

(1) 6桁の整数の個数を求めます。

(2) 6桁の整数で4の倍数であるものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 6桁の整数の個数

6桁の整数を作るには、一番左の桁（百の位）に0以外の数字を入れる必要があります。

- 一番左の桁には、1, 2, 3, 4, 5のいずれかを入れることができるので、5通りの選択肢があります。

- 残りの5桁には、残りの5つの数字を自由に並べることができます。これは5!通りです。

したがって、6桁の整数の個数は、5 * 5! で求められます。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

$5 \times 120 = 600$

(2) 6桁の整数で4の倍数であるものの個数

4の倍数であるかどうかは、下2桁だけで決まります。

下2桁が4の倍数になる組み合わせは、04, 12, 20, 24, 32, 40, 44, 52です。ただし、44は同じ数字を2度使っているので除外します。よって、04, 12, 20, 24, 32, 40, 52の7通りです。

- 下2桁が04, 20, 40の場合：

残りの4桁には、残りの4つの数字を自由に並べることができます。一番左の桁に0が来ることはないので、4! = 24通り。

したがって、3 * 24 = 72通り。

- 下2桁が12, 24, 32, 52の場合：

残りの4桁には、残りの4つの数字を自由に並べることができます。ただし、一番左の桁に0が来る場合は除く必要があります。

まず、4! = 24通りの並べ方を考えます。

次に、一番左の桁が0になる場合を考えます。残りの3桁には、残りの3つの数字を自由に並べることができます。これは3! = 6通りです。

したがって、各々の場合で 24 - 6 = 18通り。

全部で4 * 18 = 72通り。

合計すると、72 + 72 = 144通り。

3. 最終的な答え

(1) 6桁の整数の個数は 600個

(2) 6桁の整数で4の倍数であるものの個数は 144個