5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数について、以下の問いに答えます。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。 (1) 3桁の整数の個数を求めます。 (2) 3桁の整数で3の倍数であるものの個数を求めます。

1. 問題の内容

5つの数字0, 1, 2, 3, 4を使ってできる3桁の整数について、以下の問いに答えます。ただし、同じ数字は2度以上使わないものとします。

(1) 3桁の整数の個数を求めます。

(2) 3桁の整数で3の倍数であるものの個数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数の個数

百の位に使える数字は0を除く1, 2, 3, 4の4つです。

十の位には、百の位で使った数字を除く4つの数字(0を含む)が使えます。

一の位には、百の位と十の位で使った数字を除く3つの数字が使えます。

したがって、3桁の整数の個数は、

$4 \times 4 \times 3 = 48$ 個です。

(2) 3桁の整数で3の倍数であるものの個数

3桁の整数が3の倍数であるためには、各桁の数字の和が3の倍数でなければなりません。

0, 1, 2, 3, 4の中から3つの数字を選び、その和が3の倍数になる組み合わせを考えます。

あり得る組み合わせは、以下の通りです。

(0, 1, 2): 3! - 2! = 6 - 2 = 4通り

(0, 2, 4): 3! - 2! = 6 - 2 = 4通り

(1, 2, 3): 3! = 6通り

(2, 3, 4): 3! = 6通り

(0, 3, 3): 同じ数字が含まれるので不可

(1, 4, 4): 同じ数字が含まれるので不可

(3, 3, 3): 同じ数字が含まれるので不可

(4, 4, 4): 同じ数字が含まれるので不可

(0, 3, 6): 6は使えないので不可

(0, 0, 3): 同じ数字が含まれるので不可

(0, 0, 6): 同じ数字が含まれるので不可

3つの数字の合計が3の倍数になる組み合わせは、

(0, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 2, 3), (2, 3, 4)の4パターンです。

(0, 1, 2)の組み合わせで作れる3桁の整数は、百の位が0でないものなので、$3! - 2! = 6 - 2 = 4$個です。

(0, 2, 4)の組み合わせで作れる3桁の整数は、百の位が0でないものなので、$3! - 2! = 6 - 2 = 4$個です。

(1, 2, 3)の組み合わせで作れる3桁の整数は、$3! = 6$個です。

(2, 3, 4)の組み合わせで作れる3桁の整数は、$3! = 6$個です。

したがって、3の倍数の個数は、

$4 + 4 + 6 + 6 = 20$個です。

3. 最終的な答え

(1) 3桁の整数の個数は48個です。

(2) 3桁の整数で3の倍数であるものの個数は20個です。