組み合わせの計算問題です。${}_{20}C_{17}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

組み合わせの計算問題です。${}_{20}C_{17}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式は ${}_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ で表されます。

${}_{20}C_{17}$ を計算するために、この公式に $n=20$ と $r=17$ を代入します。

${}_{20}C_{17} = \frac{20!}{17!(20-17)!}$

${}_{20}C_{17} = \frac{20!}{17!3!}$

階乗を展開します。

${}_{20}C_{17} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17!}{17! \times 3 \times 2 \times 1}$

${17!}$ を約分します。

${}_{20}C_{17} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1}$

分母と分子を約分します。

$3 \times 2 \times 1 = 6$ なので、18を6で割ると3になります。

${}_{20}C_{17} = 20 \times 19 \times 3$

掛け算を実行します。

${}_{20}C_{17} = 20 \times 57$

${}_{20}C_{17} = 1140$

別解として、${}_{n}C_{r} = {}_{n}C_{n-r}$ の性質を利用することもできます。

${}_{20}C_{17} = {}_{20}C_{20-17}$

${}_{20}C_{17} = {}_{20}C_{3}$

${}_{20}C_{3} = \frac{20!}{3!17!} = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 20 \times 19 \times 3 = 1140$

3. 最終的な答え

1140