与えられた数式を計算し、簡略化する問題と、分数の分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた数式を計算し、簡略化する問題と、分数の分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

(20) $\sqrt{32} - 3\sqrt{2} - \sqrt{72}$

$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$

$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$

したがって、

$4\sqrt{2} - 3\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = (4 - 3 - 6)\sqrt{2} = -5\sqrt{2}$

(21) $-5\sqrt{3}(\sqrt{48} - 9)$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

$-5\sqrt{3}(4\sqrt{3} - 9) = -5\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \cdot 9 = -20 \cdot 3 + 45\sqrt{3} = -60 + 45\sqrt{3}$

(22) $3\sqrt{10}(\sqrt{75} + \sqrt{10})$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}$

$3\sqrt{10}(5\sqrt{3} + \sqrt{10}) = 3\sqrt{10} \cdot 5\sqrt{3} + 3\sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 15\sqrt{30} + 3 \cdot 10 = 15\sqrt{30} + 30$

(23) $-\sqrt{50} + \sqrt{18} - \sqrt{27}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$

したがって、

$-5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 3\sqrt{3} = (-5+3)\sqrt{2} - 3\sqrt{3} = -2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$

(24) $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{7}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{42}}{7}$

(25) $\frac{2}{3\sqrt{5}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{5}$を掛けます。

$\frac{2}{3\sqrt{5}} = \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{3\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{2\sqrt{5}}{15}$

(26) $\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{7}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{7}$を掛けます。

$\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{7}}{2\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 7} = \frac{\sqrt{14}}{14}$

(27) $\frac{1}{4\sqrt{3}}$

分母を有理化するために、分子と分母に$\sqrt{3}$を掛けます。

$\frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{12}$

3. 最終的な答え

(20) $-5\sqrt{2}$

(21) $-60 + 45\sqrt{3}$

(22) $30 + 15\sqrt{30}$

(23) $-2\sqrt{2} - 3\sqrt{3}$

(24) $\frac{\sqrt{42}}{7}$

(25) $\frac{2\sqrt{5}}{15}$

(26) $\frac{\sqrt{14}}{14}$

(27) $\frac{\sqrt{3}}{12}$