与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化する。

1. 問題の内容

与えられた式 $\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$ を計算し、分母を有理化する。

2. 解き方の手順

分母の有理化を行うために、分母の共役な式 $\sqrt{5} + \sqrt{3}$ を分子と分母に掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

分子は $1 \cdot (\sqrt{5} + \sqrt{3}) = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ となります。

分母は $(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ となり、これは $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の形なので、

$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$ となります。

したがって、式は $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{2}$