$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2} + 1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)}$

分母は $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を使って計算できます。

$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - (1)^2 = 2 - 1 = 1$

分子は $(\sqrt{2} + 1)^2 = (\sqrt{2})^2 + 2(\sqrt{2})(1) + 1^2 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 = 3 + 2\sqrt{2}$

したがって、

$\frac{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{3 + 2\sqrt{2}}{1} = 3 + 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$3 + 2\sqrt{2}$